Question

【題目】設函數f（x）=（x﹣a）lnx+b．
（1）當a=0時，討論函數f（x）在[ ，+∞）上的零點個數；
（2）當a＞1且函數f（x）在（1，e）上有極小值時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=xlnx+b，

∴f′（x）=1+lnx≥0在[ ，+∞）上恒成立，

∴f（x）在[ ，+∞）單調遞增，

∴f（x）min=f（ ）=﹣ +b，

當﹣ +b≤0時，即b≥ 時，函數有唯一的零點，

當﹣ +b＞0時，即b= ，函數沒有零點，

（2）解：∵f′（x）=lnx+ ，x∈（1，e）

令g（x）=lnx+ ，

∴g′（x）= + ＞0恒成立，

∴g（x）在（1，e）上單調遞增，

∴g（x）＞g（1）=1﹣a，g（x）＜g（e）=2﹣ ，

∵函數f（x）在（1，e）上有極小值，

∴ ，

解得1＜a＜2e，

故a的取值范圍為（1，2e）

【解析】（1）先求導，求出函數的最小值，再根據最小值和0的關系分類討論即可得到函數零點的個數，（2）函數f（x）在（1，e）上有極小值時，則函數f（x）在（1，e）上不單調，先求導，構造函數g（x）=lnx+ ，得到函數在（1，e）上單調遞增， 即可以得到 ，解得即可
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．