Question

在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項：第一次取1，第二次取2個連續(xù)偶數(shù)2、4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9；第四次取4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；第五次取5個連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25．按此規(guī)則一直取下去，得到一個子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．則在這個子數(shù)列中，由1開始的第15個數(shù)是

 

，第2014個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：規(guī)律型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題是歸納推理，要從中找出數(shù)字遞增的規(guī)律，第n組有連續(xù)個奇數(shù)和偶數(shù)構造，其中奇偶性根n的奇偶性相同，然后利用該規(guī)律解題．

解答： 解：記該數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…為{a_n}，
由1開始依次按如下規(guī)則取它的項：
第一次取1，
第二次取2個連續(xù)偶數(shù)2、4；
第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9；
第四次取4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；
第五次取5個連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25，…
可知：第一組的最后一個數(shù)依次為：1，4，9，16，25，…
歸納得到，每一組的最后一個數(shù)依次為：1²，2²，3²，4²，…，n²，…
即第n個組最后一個數(shù)為n²．
利用1+2+3+…+n=29或1+2+3+…+n≈29，n∈N^*
得到：1+2+3+4+5+6+7+1=29
∴a₁，a₂，a₃，a₄，…a₂₉按上述分組共有8組，a₂₉是第8組的第一個數(shù)．
∵第七組最后一個數(shù)為7²=49，
由組間的差為1，得：a₂₉=49+1=50．
由于1+2+3+…+61+62+61=2014，
所以a₂₀₁₄位于第63組，倒數(shù)第三個，
因為第63組最后一個數(shù)為63²=3969，
由組內(nèi)的差為2，得：a₂₀₁₄=3969-4=3965．
故答案為：25，3965．

點評：本題考查的是歸納推理，難點是發(fā)現(xiàn)規(guī)律（每個組的最后一個數(shù)是完全平方數(shù)），難度較大．本題還可以分組，利用組內(nèi)的差為2，組間的差為1，根據(jù)所求的數(shù)的位置，統(tǒng)計兩種差的次數(shù)，類比等差數(shù)列，求出該數(shù)的值．