Question

北京市各級各類中小學每年都要進行“學生體質健康測試”，測試總成績滿分為100分，規定測試成績在[85，100]之間為體質優秀；在[75，85）之間為體質良好；在[60，75）之間為體質合格；在[0，60）之間為體質不合格．現從某校高三年級的300名學生中隨機抽取30名學生體質健康測試成績，其莖葉圖如下：

9	1	3	5	6
8	0	1	1	2	2	3	3	3	4	4	5	6	6	7	7	9
7	0	5	6	6	7	9
6	4	5	8
5	6

（Ⅰ）試估計該校高三年級體質為優秀的學生人數；
（Ⅱ）根據以上30名學生體質健康測試成績，現采用分層抽樣的方法，從體質為優秀和良好的學生中抽取5名學生，再從這5名學生中選出3人．
（ⅰ）求在選出的3名學生中至少有1名體質為優秀的概率；
（ⅱ）求選出的3名學生中體質為優秀的人數不少于體質為良好的人數的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,分層抽樣方法

專題：計算題,概率與統計

分析：（I）根據莖葉圖可得優秀率，從而可得總體中優秀學生數；
（II）先計算按分層抽樣方法，抽取的優秀學生數和良好學生數，再利用排列組合知識計算從這5名學生中選出3人的方法種數，
計算選出的3名學生中至少有1名體質為優秀的選法種數及選出的3名學生中體質為優秀的人數不少于體質為良好的人數的選法種數，代入古典概型概率公式計算．

解答： 解：（I）由莖葉圖知：體質優秀的數據有10個，
∴優秀率為

1

3

，
∴總體中優秀學生數為300×

1

3

=100；
（II）樣本中體質良好的學生數為15，
∴按分層抽樣方法，從體質為優秀和良好的學生中抽取5名學生，則抽取的優秀學生數為2，良好學生數為3；
（i）從這5名學生中選出3人，共有

C

3 5

=10種選法；
其中選出的3名學生中至少有1名體質為優秀的選法有

C

1 2

×

C

2 3

+

C

2 2

×

C

1 3

=9種，
∴選出的3名學生中至少有1名體質為優秀的概率為

9

10

；
（ii）選出的3名學生中體質為優秀的人數不少于體質為良好的人數有

C

2 2

×C

1 3

=3種，
∴選出的3名學生中體質為優秀的人數不少于體質為良好的人數的概率為

3

10

．

點評：本題考查了古典概型的概率計算及計數原理應用，考查了組合數計算公式，綜合性較強，解題的關鍵是利用排列組合知識求得符合條件的基本事件個數．