Question

【題目】已知函數f（x）=2x+1，數列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），數列{bn}的前n項和為Tn ， 且b1=2，Tn=bn+1﹣2（n∈N）．
（1）分別求{an}，{bn}的通項公式；
（2）定義x=[x]+（x），[x]為實數x的整數部分，（x）為小數部分，且0≤（x）＜1．記cn= ，求數列{cn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：an=f（n）=2n+1．

當n≥2時，bn=Tn﹣Tn﹣1=bn+1﹣bn，bn+1=2bn，b1=2≠0，又令n=1，得b2=4．

∴ ，{bn}是以2為首項和公比的等比數列，

．

（2）解：依題意， ； ；

當n≥3時，可以證明0＜2n+1＜2n，即 ，∴ ，

則 ， ， ．

令 ， ，

兩式相減并化簡得得 ．

∴ ，檢驗知，n=1不合，n=2適合，

∴

【解析】（1）an=f（n）=2n+1．當n≥2時，bn=Tn﹣Tn﹣1 ， 可得bn+1=2bn ， b1=2≠0，又令n=1，得b2=4，利用等比數列的通項公式即可得出．（2）由題意， ； ；當n≥3時，可以證明0＜2n+1＜2n ， 因此 ，再利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．