Question

【題目】如圖，已知圓O：和點，由圓O外一點P向圓O引切線，Q為切點，且有 .

（1）求點P的軌跡方程，并說明點P的軌跡是什么樣的幾何圖形?

（2）求的最小值；

（3）以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程.

Answer 1

【答案】（1），軌跡是斜率為，在y軸上的截距為的直線，（2）（3）

【解析】

(1)設(shè)點P,根據(jù),列式化簡即可得解;

(2)由可知,的最小值即為點A到直線的距離;

(3)結(jié)合圓的性質(zhì)可知,與直線垂直,且圓與圓相切時,半徑最小,據(jù)此求解即可.

(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為,

,,

由題意有,整理為:,

故點P的軌跡方程為,

點P的軌跡是斜率為,在y軸上的截距為的直線;

(2)由和(1)可知,

的最小值即為點A到直線的距離,

故其最小值為;

(3)由圓的性質(zhì)可知,當(dāng)直線與直線垂直時,

以此時的點P為圓心,且與圓O相外切的圓即為所求,

此時的方程為,

聯(lián)立方程,解得,即,

又點O到直線的距離為,可得所求圓的半徑為,

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.