Question

【題目】已知圓心在直線x+y﹣1=0上且過點A（2，2）的圓C1與直線3x﹣4y+5=0相切，其半徑小于5．
（1）若C2圓與圓C1關于直線x﹣y=0對稱，求圓C2的方程；
（2）過直線y=2x﹣6上一點P作圓C2的切線PC，PD，切點為C，D，當四邊形PCC2D面積最小時，求直線CD的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設C1（a，1﹣a），則

∵過點A（2，2）的圓C1與直線3x﹣4y+5=0相切，

∴ = ，

∴（a﹣2）（a﹣62）=0

∵半徑小于5，

∴a=2，此時圓C1的方程為（x﹣2）2+（y+1）2=9，

∵C2圓與圓C1關于直線x﹣y=0對稱，

∴圓C2的方程為（x+1）2+（y﹣2）2=9；

（2）解：設P（a，2a﹣6），圓C2的半徑r=2，

∴四邊形PCC2D面積S=2 = =3|PD|，

|PD|= = ，

∴a=3時，|PD|min= ，此時面積最小為3 ，P（3，0）．

∵C，D在以PC2為直徑的圓上，

∴方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，

∵圓C2的方程為（x+1）2+（y﹣2）2=9，

∴兩個方程相減，可得CD的方程為4x﹣2y﹣1=0．

【解析】（1）利用過點A（2，2）的圓C1與直線3x﹣4y+5=0相切， = ，求出圓心與半徑，可得圓C1的方程，利用C2圓與圓C1關于直線x﹣y=0對稱，即可求圓C2的方程；（2）求出四邊形PCC2D面積最小值，可得以PC2為直徑的圓的方程，即可求直線CD的方程．
【考點精析】掌握直線與圓的三種位置關系是解答本題的根本，需要知道直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．