Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的上頂點為（0，2），且離心率為 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）從橢圓C上一點M向圓x2+y2=1上引兩條切線，切點分別為A、B，當直線AB分別與x軸、y軸交于P、Q兩點時，求|PQ|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的上頂點為（0，2），且離心率為 ， ∴ ，解得a=6，b=2，
∴橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）設切點為（x0 ， y0），
當切線斜率存在時，設切線方程為y﹣y0=k（x﹣x0），
∵k=﹣ ，∴切線方程為y﹣y0=﹣ （x﹣x0），∴ ，
當k不存在時，切點坐標為（±r，0），對應切線方程為x=±r，
符合 ，
綜上知切線方程為 ，
設點M（xM ， yM），MA，MB是圓x2+y2=1的切線，切點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
過點A的圓的切線為x1x+y1y=1，
過點B的圓的切線為x2x+y2y=1，
∵兩切線都過M點，∴x1xM+y1yM=1，x2xM+y2yM=1，
∴切點弦AB的方程為xMx+yMy=1，
由題意知xMyM≠0，
∴P（ ，0），Q（0， ），
∴|PQ|2= =（ ）（ + ）
=
≥ = ，
當且僅當 時，取等號，
∴|PQ|≥ ，∴|PQ|的最小值為
【解析】（Ⅰ）由橢圓上頂點為（0，2），且離心率為 ，列出方程組，求出a=6，b=3，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）設切點為（x0 ， y0），求出切線方程為 ，設點M（xM ， yM），MA，MB是圓x2+y2=1的切線，求出切點弦AB的方程為xMx+yMy=1，由此能求出|PQ|的最小值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．