Question

【題目】已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足a =2Sn+n+4，且a2﹣1，a3 ， a7恰為等比數列{bn}的前3項．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）令cn= ﹣ ，求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a22=2S1+1+4=2a1+5，

當n＞1時，an+12=2Sn+n+4，①

可得an2=2Sn﹣1+n﹣1+4，②

①﹣②可得，an+12﹣an2=2an+1，

即有an+12=（an+1）2，

數列{an}的各項均為正數，

可得an+1﹣an=1，即公差d=1，

由a2﹣1，a3，a7恰為等比數列{bn}的前3項，

可得a32=（a2﹣1）a7，

即為（a2+1）2=（a2﹣1）（a2+5），解得a2=3，

則an=a2+n﹣2=n+1；b1=a2﹣1=2，公比q= = =2，

則bn=b1qn﹣1=2n

（2）解：cn= ﹣ = ﹣ = ﹣（ ﹣ ），

前n項和Tn=（1 +2 +…+n（ ）n）﹣（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ），

由Fn=1 +2 +…+n（ ）n，

Fn=1 +2 +…+n（ ）n+1，

兩式相減可得， Fn= + + +…+（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣﹣n（ ）n+1

化簡可得，Fn=2﹣ ，

則Tn=2﹣ ﹣（ ﹣ ）= ﹣ +

【解析】（1）將n換為n﹣1，兩式相減，可得an+1﹣an=1，即公差d=1，再由等比數列的性質和等差數列的通項公式，解方程可得a2=3，再由等差數列的通項公式可得通項；再由等比數列的定義和通項公式可得所求；（2）求得cn= ﹣ = ﹣ = ﹣（ ﹣ ），分別運用數列的求和方法：錯位相減法和裂項相消求和，計算即可得到所求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．