Question

【題目】選修4-5：不等式選講

設函數f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）求f（x）的最小值及取得最小值時x的取值范圍；
（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函數f（x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值為3，

此時，﹣2≤x≤1

（2）

解：函數f（x）=|x+2|+|x﹣1|= ，而函數y=﹣ax+1表示過點（0，1），斜率為﹣a的一條直線，

如圖所示：當直線y=﹣ax+1過點A（1，3）時，3=﹣a+1，∴a=﹣2，

當直線y=﹣ax+1過點B（﹣2，3）時，3=2a+1，∴a=1，

故當集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函數f（x）＞﹣ax+1恒成立，

即f（x）的圖象恒位于直線y=﹣ax+1的上方，

數形結合可得要求的a的范圍為（﹣2，1）．

【解析】（1）利用絕對值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值時x的取值范圍．（2）當集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函數f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的圖象恒位于直線y=﹣ax+1的上方，數形結合求得a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．