Question

【題目】已知數列{an}是首項為1的單調遞增的等比數列，且滿足a3 ， 成等差數列．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若bn=log3（anan+1）（n∈N*），求數列{anbn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}公比為q＞1，∵a3， 成等差數列．

∴ a4=a3+a5，化為：3q2﹣10q+3=0，解得q=3．∴an=3n﹣1

（2）解：bn=log3（anan+1）= =2n﹣1，

∴anbn=（2n﹣1）3n﹣1．

∴數列{anbn}的前n項和Sn=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1．

3Sn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，

∴﹣2Sn=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n=1+2× ﹣（2n﹣1）3n=（2﹣2n）3n﹣2，

∴Sn=1+（n﹣1）3n

【解析】（1）設等比數列{an}公比為q＞1，由a3 ， 成等差數列．可得 a4=a3+a5 ， 化為：3q2﹣10q+3=0，解得q即可得出．（2）bn=log3（anan+1）= =2n﹣1，可得anbn=（2n﹣1）3n﹣1 ． 利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】通過靈活運用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．