Question

【題目】已知函數 ．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=kx相切于點P，求點P的坐標；
（Ⅱ）當a≤e時，證明：當x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x0 ， y0）， ，
由題意知 解得x0=2，所以 ，
從而點P的坐標為 ．
（Ⅱ）證明：設函數g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）= ，
，x∈（0，+∞），
設h（x）=ex﹣ax，x∈（0，+∞），則h'（x）=ex﹣a，
①當a≤1時，因為x＞0，所以ex＞1，所以h'（x）=ex﹣a＞0，
所以h（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，所以h（x）＞h（0）=1＞0；
②當1＜a≤e時，令h'（x）=0，則x=lna，
所以x∈（0，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0．
所以h（x）≥h（lna）=a（1﹣lna）≥0，
由①②可知：x∈（0，+∞）時，有h（x）≥0，
所以有：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↓	極小值	↑

所以g（x）min=g（1）=e﹣a≥0，從而有當x∈（0，+∞）時，f（x）≥a（x﹣lnx）
【解析】（Ⅰ）設點P的坐標為（x0 ， y0）， ，由題意列出方程組，能求出點P的坐標．（Ⅱ）設函數g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）= ， ，x∈（0，+∞），設h（x）=ex﹣ax，x∈（0，+∞），則h'（x）=ex﹣a，由此利用分類討論和導數性質能證明：當x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．