Question

【題目】如圖，平面平面，四邊形和是全等的等腰梯形，其中，且，點為的中點，點是的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）請在圖中所給的點中找出兩個點，使得這兩點所在的直線與平面垂直，并給出證明；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得平面？如果存在，求出的長度；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析 （Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由四邊形是等腰梯形，點為的中點，點是的中點，得，從而可證平面；（Ⅱ）依題意可證 ，再根據可證為菱形，即可證；（Ⅲ）假設存在點，使得∥平面，可證為平行四邊形，從而推出∥平面，即可證∥平面，則為平行四邊形，從而推出矛盾，即可得出結論.

試題解析：（Ⅰ）∵四邊形是等腰梯形，點為的中點，點是的中點

∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面

（Ⅱ） 點為所求的點

∵平面

∴

又∵，且

∴為菱形

∴

∵，

∴平面

（Ⅲ）假設存在點，使得∥平面

由，所以為平行四邊形，

∴∥

∵平面

∴∥平面

又∵

∴平面∥平面，

∴∥平面

∴∥，

∴為平行四邊形

∴，矛盾，

∴不存在點，使得∥平面