Question

【題目】棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標，某農科所的專家在土壤環境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取20根棉花纖維進行統計，結果如下表：（記纖維長度不低于300mm的為“長纖維”，其余為“短纖維”）

纖維長度	（0，100）	[100，200）	[200，300）	[300，400）	[400，500]
甲地（根數）	3	4	4	5	4
乙地（根數）	1	1	2	10	6

（1）由以上統計數據，填寫下面2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環境有關系”．

	甲地	乙地	總計
長纖維
短纖維
總計

附：（1） ；（2）臨界值表；

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）現從上述40根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）9；16；25；11；4；15；20；20；40
（2）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數為 ，X的可能取值為：0，1，2，3， ， ， ， ．

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

∴

【解析】解：（Ⅰ）根據已知數據得到如下2×2列聯表：

	甲地	乙地	總計
長纖維	9	16	25
短纖維	11	4	15
總計	20	20	40

根據2×2列聯表中的數據，可得
所以，在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環境有關系”．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．