Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，平面平面PAD，E是的中點，F是DC上一點，G是PC上一點，且，.

（1）求證：平面平面PAB；

（2）若，，求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）從線面垂直的證明入手，證明平面PAB，從而證得平面平面PAB；（2）添加輔助線，找到直線PB與平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空間直角坐標系，利用空間向量法進行求解.

（1）如圖，取的中點M，連接MD，ME，

則，.

又，，所以，，

所以四邊形MDFE是平行四邊形，所以.

因為，所以.

因為平面平面PAD，平面平面，，所以平面PAD.

因為平面PAD，所以.

因為，所以平面PAB，

所以平面PAB.

又平面EFG，所以平面平面PAB.

（2）解法—：過點P作于點H，則平面ABCD，以H為坐標原點，HA所在直線為x軸，過點H且平行于AB的直線為y軸，PH所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

在等腰三角形PAD中，，，因為，所以，解得，則，

所以，，所以.

易知平面ABCD的一個法向量為，

所以，

所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

解法二：由（1）可知平面PAD，

因為平面PAD，所以.

在直角三角形PAB中，由勾股定理可得.

過點P作于點H，則平面ABCD，連接HB，則是直線PB與平面ABCD所成的角.

在等腰三角形PAD中，，，

因為，所以，解得，在直角三角形PHB中，.

所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.