Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條斜率為的直線分別交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，且點(diǎn)三等分．

（1）求該橢圓的方程；

（2）若是第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為2，過(guò)點(diǎn)的兩條不同的直線分別交橢圓于點(diǎn)，且直線的斜率之積，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)．

【解析】

（1）分別設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用相關(guān)參數(shù)表示的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出的值；

（2）設(shè)出直線的方程，利用條件求出相關(guān)參數(shù)關(guān)系，即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）不妨設(shè)，則，

即，

則由題意知，或，

分別代入橢圓的方程得消去，整理得，

又，所以．

故該橢圓的方程為．

（2）由題意得，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，

代入橢圓的方程整理得，．

設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，

由得，即，

所以，

即，

整理得，．

由求根公式得，，

故或．

若，則直線的方程為，

直線過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)，舍去．

若，則直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)．