Question

【題目】已知數列滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）設，數列的前項和為，求；

（3）設，問：是否存在非零整數，使數列為遞增數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）存在，

【解析】

（1）根據題干中的等式即可求解數列的通項公式；

（2）先根據數列的通項公式求出，再根據的特點利用錯位相減法求和即可；

（3）先求出，再分為奇數和為偶數兩種情況求解即可．

（1）由題意，數列滿足……①，

所以當時，…… ②，

由①-②，可得，可得，

當時，，所以，也滿足上式，

所以．

（2）由（1）知，，

則，

，

兩式相減得，，

所以．

（3）由（1）知，，要使數列為遞增數列，

則恒成立，

即恒成立，

整理得恒成立，所以恒成立．

當為奇數時，恒成立，所以；

當為偶數時，恒成立，所以．

綜上可得，

又因為為非零整數，所以，

即存在，使數列為遞增數列．