Question

【題目】對于函數f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相異的兩根x1 ， x2
（1）若a＞0，且x1＜1＜x2 ， 求a的取值范圍；
（2）若x1﹣1，x2﹣1同號，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相異的兩根x1，x2；

當a＞0時，二次函數f（x）的圖象開口向上，且x1＜1＜x2，

∴f（1）=a+2﹣2a＜0，

解得a＞2，

∴a的取值范圍是a＞2

（2）解：若x1﹣1，x2﹣1同號，則（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；

又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣ ，

∴﹣2﹣（ ）+1＞0，

解得0＜a＜2；

又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，

解得a∈R；

綜上，實數a的取值范圍是0＜a＜2

【解析】（1）a＞0時，根據二次函數f（x）的圖象與性質，得出f（1）＜0，求出a的取值范圍即可；（2）根據x1﹣1，x2﹣1同號得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根與系數的關系列出不等式，從而求出a的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用解一元二次不等式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊．