Question

（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點．

（I）求證：；
（II）求與平面所成的角．

Answer 1

（I）證明見解析
（II）．

方法一：
（I）證明：因為，是的中點，
所以．
又平面，
所以．
（II）解：過點作平面，垂足是，連結交延長交于點，連結，．

是直線和平面所成的角．
因為平面，
所以，
又因為平面，
所以，
則平面，因此．
設，，
在直角梯形中，
，是的中點，
所以，，，
得是直角三角形，其中，
所以．
在中，，
所以，
故與平面所成的角是．
方法二：
如圖，以點為坐標原點，以，分別為軸和軸，過點作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標系，設，則，，．，．

（I）證明：因為，，
所以，
故．
（II）解：設向量與平面垂直，則，，
即，．
因為，，
所以，，
即，
，
直線與平面所成的角是與夾角的余角，
所以，
因此直線與平面所成的角是．