Question

【題目】設是定義域為的函數，對任意，都滿足：，，且當時，.

（1）請指出在區間上的奇偶性、單調區間、零點；

（2）試證明是周期函數，并求其在區間（）上的解析式；

（3）方程有三個不等根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）偶函數，上遞減，上遞增，零點；（2）證明見解析，，；（3）（）.

【解析】

根據，可推出函數為偶函數，即可求出（2）由可推出周期為2，根據周期及奇偶性可求出函數在上的解析式（3）在一個周期內研究即可，利用導數求出直線與相切時的截距，過點時直線的截距，即可求出方程有3個不等實根時的取值范圍.

因為，，

所以，

所以，函數為定義域R上的偶函數，

故在區間上是偶函數，在是遞減區間，是遞增區間，零點是0.

因為，

所以，

故函數是周期為2的周期函數.

設，則，，

所以，

又函數是偶函數，且周期為2，

所以，

故，.

（3）當時，，

在周期內，當直線過點時，即時，直線與函數有2個交點，方程有兩個不等的實根，向下平移直線時，與函數有3個交點，當直線與（）相切時，有2個交點，

此時，由得：，

因為相切，所以，

解得，

故當時，直線與的圖象有3個交點，即有3個不等的實根.