Question

【題目】若無窮數列滿足對所有正整數成立，則稱為“數列”，現已知數列是“數列”.

（1）若，求的值；

（2）若對所有成立，且存在使得，求的所有可能值，并求出相應的的通項公式；

（3）數列滿足，證明：是等比數列當且僅當是等差數列。

Answer 1

【答案】（1）或

（2），

（3）證明見解析

【解析】

（1）根據已知條件列方程求解即可；

（2）先由已知猜想，再結合與正整數有關的命題的證明，通常考慮用數學歸納法即可得證；

（3）按數列是否為等差數列分類證明，可以用反證法來證明結論.

解：（1）由已知可得：，

又，即，

解得或；

（2）當時，，又，

則，則與已知矛盾，

即，

當，可得，，

猜想：，

證明：①當時，成立，

② 假設當，時，結論成立，即，

，

那么當時，，依然成立，

綜上可得：；

（3）假設是等差數列，令，則，

即，可得,

則，化簡整理得：成立,

因為且，則,則，則為非零的常數列的等差數列，從而得證，

若不是等差數列，則，（含變量的式子，非常數），

則，根據累加法可得常數，

故不可能是等比數列，

故是等比數列當且僅當是等差數列.