Question

【題目】已知數列滿足：，，且、、成等差數列，其中.

（1）求實數的值和數列的通項公式；

（2）若數列滿足等式：（），求數列的前項和；

（3）在（2）的條件下，問：是否存在這樣的正數，可以確保恰有5個自然數使得不等式成立？若存在，求的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，.

【解析】

由題意和等差中項的性質列出關于的方程求出,再利用累加法求出數列的通項公式即可.

類比已知前項和求通項公式的方法，由等式，得到

，兩式相減得到,利用求出的通項公式,當時,，即可求出.

結合條件對進行分類討論,當時,利用分離參數法化簡得,利用取特殊值和比商法判斷出的單調性,進而判斷出的單調性,根據條件即可求出正數的取值范圍.

因為,,

所以，,

因為、、成等差數列，

所以,即,

解得,,

所以,

以上式子相加可得,,

因為,

所以,即.

因為,

所以，

可得，,

因為 ,所以即，

當時,,

因為數列的前項和為,

所以.

假設存在這樣的正數.

因為,所以使不等式成立,

即使不等式成立即可.

因為,所以當時,上式顯然成立,

當時,不等式可化為,

當時,;當時,;

當時,；當時,;

令，則，

當時,,則,

所以當時,隨著的增大而增大,則隨著的增大而減小,

因為使不等式成立的自然數恰有5個，

所以正數的取值范圍為.