Question

【題目】已知△ABC的三個頂點A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為⊙H.

(1)若直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)x＝3或4x－3y－6＝0.(2)[，).

【解析】

試題分析：（1）先求出三角形兩邊的垂直平分線的方程，解聯(lián)立方程組求出外心的坐標，再求出半徑得出外接圓的方程，根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離，設出直線方程利用圓心到直線的距離公式列方程求出直線的斜率，寫出直線的方程，注意直線斜率不存在的情形；（2）設出點P和點N的坐標，表示出中點M的坐標，M、N滿足圓C的方程，根據(jù)方程組有解說明兩圓有公共點，利用兩圓位置關系要求及點P滿足直線BH的方程，解出半徑的取值范圍.

試題解析：

(1)線段AB的垂直平分線方程x＝0，線段BC的垂直平分線方程為x＋y－3＝0，

∴外接圓圓心H(0,3)，半徑，⊙H的方程x2＋(y－3)2＝10.

設圓心H到直線l的距離為d，∵直線l被⊙H截得的弦長為2，∴d＝＝3.

當直線l垂直于x軸時，顯然符合題意，即x＝3為所求；

當直線l不垂直于x軸時，設直線方程為y－2＝k(x－3)，則＝3，解得k＝.

綜上，直線l的方程為x＝3或4x－3y－6＝0.6分

(2)直線BH的方程為3x＋y－3＝0，設P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，

∵點M是線段PN的中點，∴M()，

又M，N都在半徑為r的⊙C上，

∴ ，

即

∵此關于x，y的方程組有解，即以(3,2)為圓心，r為半徑的圓與以(6－m,4－n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點，∴(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2.

又3m＋n－3＝0，∴r2≤10m2－12m＋10≤9r2對所有的m∈[0,1]成立．

而f(m)＝10m2－12m＋10在[0,1]上的值域為[，10]，故r2≤，且10≤9r2.

又線段BH與圓C無公共點，∴(m－3)2＋(3－3m－2)2＞r2對所有的m∈[0,1]成立，

即r2＜.故⊙C的半徑r的取值范圍為[ ).