Question

【題目】已知函數，當時，恒有．當時， ．

（Ⅰ）求證： 是奇函數；

（Ⅱ）若，試求在區間上的最值；

（Ⅲ）是否存在，使對于任意恒成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) ． ；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：(1)令x=y=0，求出 f(0)，令y=-x，可以得出f(-x)與f(x)的關系，從而判斷出函數的奇偶性；(2)先判斷函數的單調性，取值 ，賦值 ，得出，根據，利用已知當時， ．比較出與的大小，得出函數為增函數，求出函數在區間上的最值；（3）根據函數為奇函數且為增函數，轉化不等式，利用換元法簡化不等式，利用極值原理求出m 的范圍.

試題解析：

（Ⅰ）令，則，

∴．令，則，

∴，即為奇函數；

（Ⅱ）任取，且，

∵，∴，

∵當時， ，且，∴，即，

∴為增函數，

∴當時，函數有最小值， ．

當時，函數有最大值， ；

（Ⅲ）∵函數為奇函數，

∴不等式

可化為，

又∵為增函數，∴，

令，則，

問題轉化為在上恒成立，

即對任意恒成立，

令，只需，

而，

∴當時， ，則．

∴的取值范圍是．