Question

【題目】已知函數f（x）＝loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）．

（1）若f（x）在[2，9]上的最大值與最小值之差為3，求a的值；

（2）若a＞1，求不等式f（2x）＞0的解集．

Answer 1

【答案】（1）a＝2或．（2）{x|x＞1}．

【解析】

（1）對a分類討論，根據單調性求出函數的最值，即可求解；

（2）根據單調性，把對數不等式等價轉化指數不等式，即可求出結論.

（1）①當a＞1 時，f（x）＝loga（x﹣1）在（1，+∞）上為增函數，

∴在[2，9]上函數f（x）的最小值，最大值分別為：

f（x）min＝f（2）＝0；f（x）max＝f（9）＝loga8，

∴loga8﹣0＝3，∴a＝2；

②當0＜a＜1 時，f（x）＝logax 在（1，+∞）上為減函數，

∴在[2，9]上函數f（x）的最小值、最大值分別為：

f（x）min＝f（9）＝loga8，f（x）max＝f（2）＝0，

∴﹣loga8＝3，即loga8＝﹣3，∴a；

a＝2或．

（2）若a＞1，不等式f（2x）＞0f（2x）＞f（2）2x＞2x＞1；

故若a＞1，不等式f（2x）＞0的解集為{x|x＞1}．