Question

【題目】已知拋物線C：=2px經過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．

（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設O為原點，，，求證：為定值．

Answer 1

【答案】(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）

(2)證明過程見解析

【解析】分析：（1）先確定p,再設直線方程，與拋物線聯立，根據判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯立，根據韋達定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點M，N的縱坐標，代入化簡可得結論.

詳解：解：（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經過點P（1，2），

所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．

由題意可知直線l的斜率存在且不為0，

設直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．

由得．

依題意，解得k<0或0<k<1．

又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3．

所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．

（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（I）知，．

直線PA的方程為y–2=．

令x=0，得點M的縱坐標為．

同理得點N的縱坐標為．

由，得，．

所以．

所以為定值．