Question

【題目】 設函數，其中.

（Ⅰ）若，討論的單調性；

（Ⅱ）若，

（i）證明恰有兩個零點

（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.

Answer 1

【答案】（I）在內單調遞增.；

（II）（i）見解析；（ii）見解析.

【解析】

（I）；首先寫出函數的定義域，對函數求導，判斷導數在對應區間上的符號，從而得到結果；

（II）（i）對函數求導，確定函數的單調性，求得極值的符號，從而確定出函數的零點個數，得到結果；

（ii）首先根據題意，列出方程組，借助于中介函數，證得結果.

（I）解：由已知，的定義域為，

且，

因此當時，，從而，

所以在內單調遞增.

（II）證明：（i）由（I）知，，

令，由，可知在內單調遞減，

又，且，

故在內有唯一解，

從而在內有唯一解，不妨設為，

則，當時，，

所以在內單調遞增；

當時，，

所以在內單調遞減，

因此是的唯一極值點.

令，則當時，，故在內單調遞減，

從而當時，，所以，

從而，

又因為，所以在內有唯一零點，

又在內有唯一零點1，從而，在內恰有兩個零點.

（ii）由題意，，即，

從而，即，

以內當時，，又，故，

兩邊取對數，得，

于是，整理得，