Question

已知直線l經過拋物線x²=4y的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，點O為坐標原點．
（1）證明：

OA

•

OB

=-3；
（2）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,平面向量數量積的運算,直線的一般式方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由拋物線x²=4y的方程可得焦點F（0，1）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設直線l的方程為：y=kx+1．與拋物線方程聯立可得根與系數的關系，再利用數量積

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂即可證明；
（2）利用（1）及弦長公式、點到直線的距離公式即可得出k．

解答： （1）證明：由拋物線x²=4y的方程可得焦點F（0，1）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設直線l的方程為：y=kx+1．
聯立

x2=4y y=kx+1

，化為x²-4kx-4=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-4k²+4k²+1=1．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-4+1=-3；
（2）解：由（1）可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[16k2+16]

=4（1+k²）．
點O到直線l的距離d=

1

1+k2

．
∴S_△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

×4(1+k2)•

1

1+k2

=4，
解得k²=3，
∴k=±

3

．
∴直線l的方程為：y=±

3

x+1．

點評：本題考查了直線與拋物線的相交問題轉化為方程聯立可得根與系數、數量積運算、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．