Question

【題目】設，函數．

（1）若無零點，求實數的取值范圍．

（2）若，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調性及值域，確定a的范圍即可；

（2）問題轉化為證明ex﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）恒成立，令g（x）＝ex﹣2x2+x﹣1＞0，（x＞0），求導分析函數的單調性及最值，證明即可．

（1）∵，∴定義域是又，

①當時，無零點；

②當時，，故在上為減函數，

又當時，，所以有唯一的零點；

③當時，

∴在遞增，在遞減，

∴，則只要，即，

∴而，∴，

綜上所述：所求的范圍是．

（2）時，，，

要證，問題轉化為證明，

整理得：恒成立，

令，

，

故在遞減，在遞增，

故，

故存在，

使得，

故當或時，遞增，

當時，遞減，

故的最小值是或，

由，得，

，

∵，故，

故時，，原不等式成立．