【題目】已知拋物線
上一點
到焦點
的距離
，傾斜角為
的直線經過焦點，且與拋物線交于兩點
、
.
（1）求拋物線的標準方程及準線方程；
（2）若為銳角，作線段
的中垂線
交
軸于點
.證明：
為定值，并求出該定值.
【答案】（1）拋物線的方程為
，準線方程為
；
（2）
為定值
，證明見解析.
【解析】
（1）利用拋物線的定義結合條件
，可得出
，于是可得出點
的坐標，然后將點的坐標代入拋物線的方程求出
的值，于此可得出拋物線的方程及其準線方程；
（2）設直線
的方程為
，設點
、
，將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去
，列出韋達定理，計算出線段的中點
的坐標，由此得出直線
的方程，并得出點
的坐標，計算出
和
的表達式，可得出
，然后利用二倍角公式可計算出為定值，進而證明題中結論成立.
（1）由拋物線的定義知，
，
.
將點
代入
，得
，得
.
拋物線的方程為，準線方程為；
（2）設點、，設直線的方程為，
由
，消去得：
，則
，
，
.
設直線中垂線的方程為：
，
令
，得：
，則點
，
，
.
，
故為定值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是雙曲線
的左右焦點，其漸近線為
，且其右焦點與拋物線
的焦點
重合.
（1）求雙曲線
的方程；
（2）過
的直線
與相交于
兩點，直線的法向量為
，且
，求
的值
（3）在（2）的條件下，若雙曲線在第四象限的部分存在一點
滿足
，求
的值及
的面積
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為
，
；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為
，
；兩人滑雪時間都不會超過3小時．
(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；
(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數學期望E(ξ)．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的值域為
，記函數
.
（1）求實數
的值；
（2）存在
使得不等式
成立，求實數
的取值范圍；
（3）若關于
的方程
有5個不等的實數根，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】唐三彩，中國古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術的特點，在中國文化中占有重要的歷史地位，在中國的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆.唐三彩的生產至今已有
多年的歷史，對唐三彩的復制和仿制工藝，至今也有百余年的歷史.某陶瓷廠在生產過程中，對仿制的
件工藝品測得重量（單位：
）數據如下表：
分組 | 頻數 | 頻率 |
|
|
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| |
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| |
|
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|
|
| |
|
| |
合計 |
|
（1）求出頻率分布表中實數
，
的值；
（2）若從仿制的件工藝品重量范圍在
的工藝品中隨機抽選
件，求被抽選件工藝品重量均在范圍
中的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C：
，直線1過原點O．
（1）若直線l與圓C相切，求直線l的斜率；
（2）若直線l與圓C交于A、B兩點，點P的坐標為
，若
．求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列關于復數
的四個命題中，正確的個數是（ ）
（1）若
，則復數對應的動點的軌跡是橢圓；
（2）若
，則復數對應的動點的軌跡是雙曲線；
（3）若
，則復數對應的動點的軌跡是拋物線；
（4）若
，則
的取值范圍是
A.4B.1C.2D.3
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