Question

【題目】定義：曲線稱為橢圓的“倒橢圓”．已知橢圓，它的“倒橢圓”．

（1）寫出“倒橢圓”的一條對稱軸、一個對稱中心；并寫出其上動點橫坐標x的取值范圍．

（2）過“倒橢圓”上的點P，作直線PA垂直于x軸且垂足為點A，作直線PB垂直于y軸且垂足為點B，求證：直線AB與橢圓只有一個公共點．

（3）是否存在直線l與橢圓無公共點，且與“倒橢圓”無公共點？若存在，請給出滿足條件的直線l，并說明理由；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸為a軸（或y軸），對稱中心為；；

（2）證明見解析；

（3）不存在；理由見解析；

【解析】

（1）根據題干中的新定義“倒橢圓”即可求解。

（2）根據新定義得，，求出；再與聯立，通過判別式即可證明。

（3）設l上任意一點，Q不是l與橢圓的公共點，則；Q不是l與倒橢圓的公共點， ；從而Q不是l與、的公共點，則必有，與或，即不存在。

（1）對稱軸為a軸（或y軸），對稱中心為；

∵，∴．

（2）設，其中，且，則，，

于是，代入，得，

，

由可得，從而，∴直線AB與橢圓只有一個公共點．

（3）設l上任意一點，

若Q是l與橢圓的公共點，則，

也即Q不是l與橢圓的公共點，則必有；

同理，若Q是l與倒橢圓的公共點，則，

也即Q不是l與倒橢圓的公共點，則必有；

從而Q不是l與、的公共點，則必有，

對于l上任意一點，或，∴不存在符合題意的直線l．