Question

已知函數f（x）=2ax-

3

2

x²-3lnx，其中a∈R，為常數
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）在x∈[1，a]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由題意知f'（x）≤0對x∈[1，+∞）恒成立，即

-3x2+2ax-3

x

≤0，由此利用均值定理能求出實數a的取值范圍．
（2）依題意f'（3）=0，從而解得a=5，由此利用導數性質能求出f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2ax-

3

2

x²-3lnx，
∴x＞0，f′(x)=2a-3x-

3

x

=

-3x2+2ax-3

x

，
∵f（x）在x∈[1，+∞）上是減函數，
∴f'（x）≤0對x∈[1，+∞）恒成立，即

-3x2+2ax-3

x

≤0，
又x＞0，∴-3x²+2ax-3≤0恒成立，
即3(x+

1

x

)≥2a恒成立，6≥2a，
∴a≤3，即實數a的取值范圍是（-∞，3]．
（2）∵x=3是f（x）的極值點，
∴f'（3）=0，即

-3•32+2a•3-3

3

=0，解得a=5，
此時f′(x)=

-3x2+10x-3

x

=-

(x-3)(3x-1)

x

，
當x∈[1，3]時，f'（x）≥0，原函數遞增，
當x∈[3，5]時，f'（x）≤0，原函數遞減；
∴f（x）最大值為f(3)=

33

2

-3ln3．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，考查函數的最大值的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．