Question

受市場的影響，三峽某旅游公司的經濟效益出現了一定程度的滑坡，現需要對某一景點進行改造升級，從而擴大內需，提高旅游增加值．經過市場調查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，且

x

2x-12

∈[11，+∞），當x=10時，y=9.2．
（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范圍；
（2）求出旅游增加值y取得最大值時對應的x值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,函數解析式的求解及常用方法

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由已知條件推導出f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

．6＜x≤12，由此能求出結果．
（2）f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

(x-1)(x-50)

50x

．當x∈（6，12]時，f′（x）＞0恒成立，由此能求出投入12萬元進行改造升級，取得最大的增加值．

解答： 解：（1）因為因為y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，
當x=10時，y=9.2，解得a=

1

100

．
所以f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

．
因為

x

2x-12

≥1，所以6＜x≤12，
即投入x的取值范圍是（6，12]．…（6分）
（2）對f（x）求導，得f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

(x-1)(x-50)

50x

．
當x∈（6，12]時，f′（x）＞0恒成立，
因此f（x）在區間（6，12]上是增函數．
從而當x=12時，f（x）取得最大值，
即投入12萬元進行改造升級，取得最大的增加值．…（12分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查旅游增加值y取得最大值時對應的x值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．