Question

如果關于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分別為（a，b）和（

1

b

，

1

a

），那么稱這兩個不等式為對偶不等式．如果不等式x²-4

3

x•cos2θ+2＜0與不等式2x²+4x•sin2θ+1＜0為對偶不等式，且θ∈（

π

2

，π），則cosθ=

 

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：根據對偶不等式的定義，以及不等式的解集和方程之間的關系，即可得到結論．

解答： 解：設不等式x²-4

3

x•cos2θ+2＜0的解集為（a，b），由題意可得不等式2x²-4xsin2θ+1＜0的解集（

1

b

，

1

a

），
即x=a，x=b是方程x²-4

3

x•cos2θ+2=0的兩個根，
x=

1

b

，x=

1

a

是2x²-4xsin2θ+1=0的兩個根
由一元二次方程與不等式的關系可知，
整理可得，

ab=2 a+b=4 3 cos2θ 1 a + 1 b = a+b ab =2sin2θ

，整理得

3

cos2θ=sin2θ，
即tan2θ=

3

，
∵θ∈（

π

2

，π），
∴2θ∈（π，2π），
∴θ=

2π

3

，即cosθ=-

3

2

故答案為：-

3

2

點評：本題以新定義為載體，考查了一元二次方程與一元二次不等式的相互轉化關系，方程的根與系數的關系，是一道綜合性比較好的試題．