Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）當(dāng)a=1時，x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時， ，

可知當(dāng)x∈[1，e]時f（x）為增函數(shù)，

最小值為 ，

要使x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（2）解：已知函數(shù) ．

若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，

等價于對任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即 恒成立．

設(shè) ．

即g（x）的最大值小于0.

①當(dāng) 時， ，

∴ 為減函數(shù)．

∴g（1）=﹣a﹣ ≤0

∴a≥﹣

∴

②a≥1時， ．

為增函數(shù)，

g（x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時不滿足條件．

③當(dāng) 時，g（x）在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，

同樣最大值可無窮大，不滿足題意．綜上．實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【解析】（1）將a的值代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)；，將x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函數(shù)遞增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．（2）將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立；通過構(gòu)造函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)的根與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，求出新函數(shù)的最值，求出a的范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．