Question

【題目】在區間[0，1]上給定曲線y＝x2.試在此區間內確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】答案見解析

【解析】試題分析：

由題意結合定積分的幾何意義可求得，結合定義域討論函數的單調性可得當時，S1與S2之和取得最小值，且最小值為.

試題解析：

S1面積等于邊長分別為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.

S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形邊長分別為t2，1－t面積，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.

所以陰影部分的面積S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．

令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.

t＝0時，S(t)＝；t＝時，S(t)＝；t＝1時，S(t)＝.

所以當t＝時，S(t)最小，且最小值為.