Question

【題目】已知函數f(x)＝ex－x2＋2ax.

(1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)在R上單調遞增，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ex－y＋1＝0；(2) [ln 2－1，＋∞).

【解析】試題分析：

(1)由函數的解析式可得f′(1)＝e，f(1)＝e＋1，據此可得切線方程為ex－y＋1＝0.

(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，則原問題等價于a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，求導可得g(x)在(－∞，ln 2)上單調遞增，在(ln 2，＋∞)上單調遞減，則g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，實數a的取值范圍為[ln 2－1，＋∞).

試題解析：

(1)函數的解析式：f(x)＝ex－x2＋2x，

f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e，又f(1)＝e＋1，

∴所求切線方程為y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.

(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，∵f(x)在R上單調遞增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，

∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，

則g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，則x＝ln 2，

在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，

∴g(x)在(－∞，ln 2)上單調遞增，在(ln 2，＋∞)上單調遞減，

∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，∴實數a的取值范圍為[ln 2－1，＋∞).