Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性并指出相應單調區間；

（2）若，設是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）

【解析】

（1）先對函數進行求導得，對分成和兩種情況討論，從而得到相應的單調區間；

（2）對函數求導得，從而有，，，三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉化成關于的函數，再構造新函數利用導數研究函數的最小值，從而得到的取值范圍.

解：（1）由，，

則，

當時，則，故在上單調遞減；

當時，令，

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上所述：當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）∵，

,

由得，

∴，，∴

∵∴解得.

∴.

設，

則,

∴在上單調遞減；

當時，.

∴，即所求的取值范圍為.