Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線與曲線分別交于兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值；

（2）求曲線的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）16.

【解析】

（1）根據(jù)題意，將曲線C的極坐標(biāo)方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線C的方程聯(lián)立，可得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得答案；

（2）寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，分析可得以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)l，由正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

（1）由，將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到+3=12,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為+3=12，的極坐標(biāo)為，化為直角坐標(biāo)為（-2，0）

由直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），

知直線l是過(guò)點(diǎn)P（-2，0），且傾斜角為的直線，

把直線的參數(shù)方程代入曲線C得，．

所以|PM||PN|＝|t1t2|＝4．

（2）由曲線C的方程為 ，

不妨設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，

則以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)l，

又由sin（θ）≤1，則l≤16；

因此該內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值為16．