Question

【題目】設函數，函數為的導函數．

（1）若，都有成立（其中），求的值；

（2）證明：當時，；

（3）設當時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）求導，利用對應項系數相等求即可即可

（2）證明等價證明，構造函數求最值即可證明

（3）討論，恒成立，轉化為證明，構造函數，求導求最值，證明當時不成立，當時，利用（2）放縮證明h(x)在區間上是單調遞減函數即可求解，當時，構造函數，證明不成立即可求解

（1），則

因為，即恒成立（其中），

則，，即，且

（2）當時，要證即證，

令，則，

當時，，即在區間上是單調遞增函數，

當時，，即在區間上是單調遞減函數，

則當時，，即當時，，也即，

所以當時，

（3）當，本題無意義，顯然不成立，

所以不合題意，

當時，等價于，

由題設，此時有，

當時，若，則有，此時不成立，

即不成立，所以不合題意，

當時，令，

則等價于，即當且僅當，

，

又由（1）得，即，代入上式得：

，

①當時，由（2）知，即，

則

，此時函數h(x)在區間上是單調遞減函數，

則，即恒成立，此時符合題意，

②當時，令，則，

又，則，即函數在區間上是單調遞增函數，

即，也即，

則

當時，有，即函數在區間上是單調遞增函數，

所以，即，所以不合題意，

綜上可得，所求實數a的取值范圍為