Question

【題目】設橢圓：的左焦點為，過的直線與交于，兩點，點的坐標為.

（1）若點也是頂點為原點的拋物線的焦點，求拋物線的方程；

（2）當與軸垂直時，求直線的方程；

（3）設為坐標原點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.

【解析】

(1)由拋物線的焦點為即可求得方程.
(2)求得的方程再代入橢圓計算坐標即可.
(3)分支線斜率為0與,斜率不存在與一般斜率三種情況進行討論.又由可轉證,聯(lián)立方程代入韋達定理化簡即可.

(1)由題設拋物線,且焦點為則,故拋物線方程.

(2)由已知得,的方程為.代入橢圓方程可得,點的坐標為或.所以的方程為或.

(3)當與軸重合時,.

當與軸垂直時,為的垂直平分線,所以.

當與軸不重合也不垂直時,設的方程為,,,則,,直線,的斜率之和為.

由,得.

將代入得.所以,,.

則.

從而,故,的傾斜角互補,所以.

綜上,.