Question

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率，短軸右端點為， 為線段的中點.

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ)過點任作一條直線與橢圓相交于兩點，試探究在軸上是否存在定點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在軸上存在定點，使得

【解析】試題分析：（1）由中點坐標公式可得，即得，再根據離心率，解得，（2）， 等價于，.設， ， ，利用斜率公式及直線方程，化簡得，即，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡得，即得.

試題解析：解：(Ⅰ)由已知，又，即，得，

所以橢圓方程為.

(Ⅱ)假設存在點滿足題設條件.

當⊥x軸時，由橢圓的對稱性可知恒有，即；

當與x軸不垂直時，設的方程為，

代入橢圓方程化簡得： .設， ，

則， ，

，

∵

.

若， 則，

即， 整理得，

∵，∴.綜上在軸上存在定點，使得.