Question

【題目】已知雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的離心率e= ，直線l過A（a，0），B（0，﹣b）兩點，原點O到直線l的距離是 ．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若 =﹣23，求直線m的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，l方程 + =1，即bx﹣ay﹣ab=0，由原點O到l的距離為 ，得

= ，又e= = ，

∴b=1，a= ．

故所求雙曲線方程為 ﹣y2=1．

（2）解：顯然直線m不與x軸垂直，設m方程為y=kx﹣1，

則點M、N坐標（x1，y1），（x2，y2）是方程組 的解，

消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．①

依題意，1﹣3k2≠0，由根與系數關系，

知x1+x2= ，x1x2=

=（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）

=（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+1

= ﹣ +1= +1．

又∵ =﹣23，

∴ +1=﹣23，k=± ，

當k=± 時，方程①有兩個不相等的實數根，

∴方程為y= x﹣1或y=﹣ x﹣1．

【解析】（1）先求出直線l的方程，再點到直線的距離公式建立關于a，b，c的方程，解這個方程求出a，b，從而得到雙曲線的方程．（2）設m方程為y=kx﹣1，則點M、N坐標（x1 ， y1），（x2 ， y2）是方程組 的解，消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．由根與系數關系和題設條件推導出k的值，從而求出直線m的方程．