Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數），為的導函數，且.

（1）求實數的值；

（2）若函數在處的切線經過點，求函數的極值；

（3）若關于的不等式對于任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數的極小值為，極大值為；（3）.

【解析】

（1）求出函數的導數，由，可求出實數的值；

（2）利用導數求出函數在處的切線方程，將點代入切線方程，可求出實數的值，然后利用導數求出函數的極值點，并列表分析函數的單調性，由此可得出函數的極小值和極大值；

（3）方法1：由，得，，然后分和兩種情況討論，在時可驗證不等式成立，在時，由參變量分離法得，并構造函數，并利用導數求出函數在區間上的最小值，由此可得出實數的取值范圍；

方法2：解導數方程，得出，，然后分，，，和五種情況討論，分析函數在區間上的單調性，求出函數的最大值，再解不等式可得出實數的取值范圍.

（1）因為，所以，

又因為，所以，解得.

（2）因為，所以.

因為，所以.

因為，函數在處的切線方程為且過點，

即，解得.

因為，令，得，列表如下：

		極大值		極小值

所以當時，函數取得極小值，

當時，函數取得極大值為；

（3）方法1：因為在上恒成立，

所以在上恒成立.

當時，成立；

當時，恒成立，記，，

則.

令，，

則，所以函數在區間上單調遞增，

所以，即在區間上恒成立.

當，令，得，

所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，所以，，

因此，實數的取值范圍是；

方法2：由（1）知，，

所以.

令，得，.

①當時，即時，函數在區間上單調遞減，

由題意可知，滿足條件；

②當時，即時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

由題意可知，解得；

③當時，即時，

函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，

由題意可知，解得，所以；

④當時，即時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

由題意可知，解得.

又因為，所以；

⑤當時，即時，

函數在上單調遞減，上單調遞增，在上單調遞減，

由題意可知，即.

令，則，設，

則，所以，函數在區間上單調遞增，

又因為時，，所以在區間上恒成立，所以.

綜上，，因此，實數的取值范圍是.