Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，直線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

當時，判斷直線與曲線的位置關系；

若直線與曲線相切于點，求的值．

Answer 1

【答案】直線與曲線相離；.

【解析】

當時，直線的方程為，根據已知條件可得，又因為，，替換寫成標準式得，進而判斷出直線與曲線相離；

將直線的參數方程代入中，整理得，根據直線與曲線相切，可得，進而算出的值.

當時，直線的方程為，

由，得，又因為，，

得，即，

所以曲線是橢圓，左頂點為，因為直線過點且垂直于軸，

所以直線與曲線相離．

解法一：將直線的參數方程代入中，

得，

整理得，

因為直線與曲線相切，所以，

化簡得：，，

因為點在直線上，所以．

解法二：顯然直線的斜率存在且過點，

設直線的方程為，

將其代入，并整理得：，

因為直線與曲線相切，

，

，所以，即，，，

所以，所以，

．