Question

【題目】若無窮數列滿足：只要，必有，則稱具有性質.

（1）若具有性質，且， ，求；

（2）若無窮數列是等差數列，無窮數列是公比為正數的等比數列， ， ， 判斷是否具有性質，并說明理由；

（3）設是無窮數列，已知.求證：“對任意都具有性質”的充要條件為“是常數列”.

Answer 1

【答案】（1）．（2）不具有性質．（3）見解析．

【解析】試題分析：（1）根據已知條件，得到，結合求解即可．

（2）根據的公差為， 的公比為，寫出通項公式，從而可得．

通過計算， ， ， ，即知不具有性質．

（3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明．

試題解析：（1）因為，所以， ， ．

于是，又因為，解得．

（2）的公差為， 的公比為，

所以， ．

．

，但， ， ，

所以不具有性質．

[證]（3）充分性：

當為常數列時， ．

對任意給定的，只要，則由，必有．

充分性得證．

必要性：

用反證法證明．假設不是常數列，則存在，

使得，而．

下面證明存在滿足的，使得，但．

設，取，使得，則

， ，故存在使得．

取，因為（），所以，

依此類推，得．

但，即．

所以不具有性質，矛盾．

必要性得證．

綜上，“對任意， 都具有性質”的充要條件為“是常數列”．