Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側面為正三角形，其所在平面垂直于底面.

（1）若為邊的中點，求證：平面.

（2）求證：.

（3）若為邊的中點，能否在上找出一點，使平面 平面？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）證明，利用面面垂直的性質即可證明（2）證平面即可得（3）存在點，且為的中點，證明平面，即可證出平面 平面.

證明：連接，，

因為是等邊三角形，為邊的中點，所以．

因為平面平面，所以平面，所以．

因為四邊形是菱形，所以．又因為，所以是等邊三角形，所以．又因為，，所以平．

（2）證明：因為，，，所以平面．又因為 平面，所以．

（3）存在點，且為的中點．證明如下：連接交于，連接，

因為且，又，分別是，的中點，連接，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因為，所以．由（1）知平面，所以平面．又 平面，所以平面平面．