Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）先求出函數的導數，對分類討論，根據導數的正負即可得出函數的單調性；（2）法一：對任意，都有恒成立等價于在上恒成立， 即在上恒成立，令，利用導數研究函數的單調性，即可求得，從而可得實數的取值范圍；法二：要使恒成立，只需，對進行和分類討論，利用導數研究函數的單調性，求出，即可實數的取值范圍.

試題解析：（1）由題知： ,

當時, 在時恒成立

∴在上是增函數.

當時, ,

令，得 ；令,得 .

∴在上為增函數，在上為減函數.

（2）法一：由題知： 在上恒成立， 即在上恒成立.

令，所以

令得；令得.

∴在上單調遞增，在上單調遞減.

∴ ,

∴.

法二：要使恒成立，只需,

當時， 在上單調遞增.

∴,即，這與矛盾，此時不成立.

當時,

（i）若即時， 在上單調遞增，

∴，即，這與矛盾，此時不成立.

（ii）若即時， 在上單調遞增，在上單調遞減 .

∴即，解得.

又∵

∴ ,

（iii） 即時， 在 遞減，則,

∴

又∵

∴；

綜上所述可得： .