Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以原點為極點， 軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知，直線與曲線交于， 兩點，若，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， .

（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）消去參數，即可得到直線的普通方程，在利用極坐標與直角坐標的互化，即可得到直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）將直線的參數方程與的直角坐標方程聯立，求得，進而得到，再由題設，即可求解的值．

試題解析：

（Ⅰ）由消去參數，得，

由， ，

得直線的極坐標方程為，

由，得，

由， 代入，得.

（Ⅱ）將直線的參數方程與的直角坐標方程聯立并整理得，

設點， 分別對應參數， ，則， 恰為上述方程的根，

由可得，得.

則， ，所以 ，

由，得，

即，解得或（舍去）.

故.