Question

【題目】過圓與軸正半軸的交點A作圓O的切線，M為上任意一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q．當點M在直線上運動時，△MAQ的垂心的軌跡方程為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設點坐標，，由于，是過點的圓的兩條切線，求出切點弦的方程，將其與圓的方程聯立，可以得到點坐標，由于垂直于軸，于是垂線就垂直于軸，因此、橫坐標相同．又、是圓的兩條切線，于是，因此可知過中點，而由圓的對稱性可知，也過的中點，于是可知、、三點共線．又直線的斜率知道了，點的橫坐標知道了，于是點的縱坐標也出來了，則垂心的軌跡可求．

解：由題意設點坐標，，則以為直徑的圓的方程為，

又圓的方程為，兩式作差得：．

聯立，解得或．

則點的橫坐標為．

由于垂直于軸，于是垂線就垂直于軸，因此、橫坐標相同．

又、是圓的兩條切線，于是，因此可知為三角形的垂心）過中點，

而由圓的對稱性可知，也過的中點，于是可知、、三點共線．

由直線的方程為，

代入點橫坐標得點的縱坐標為．

三角形的垂心的軌跡方程為．

消掉得： ．

故答案為：