【題目】已知拋物線
，過點
且互相垂直的兩條動直線
、
與拋物線
分別交于
、
和
、
.
（1）求
的取值范圍；
（2）記線段
和
的中點分別為
、
，求證：直線
恒過定點.
【答案】（1）
；（2）見解析.
【解析】
（1）設直線
的方程為
，設點
、
，聯立直線與拋物線的方程，列出韋達定理，利用弦長公式可得出
關于
的表達式，然后利用導數可求得的最小值；
（2）求出線段
的中點
的坐標，進而可得出點
的坐標，可求得直線
的方程，進而可得出直線所過定點的坐標.
（1）由題意可知兩直線、
的斜率一定存在，且不等于
.
設
，，，則
.
聯立直線與拋物線的方程，有
，
其中
，由韋達定理，有
.
所以
.
設
.
因為
，又因為
.
所以
在定義域內單調遞增，易得
，
即當
時，
；當
時，
.
所以
時，
單調遞減；
，單調遞增，
所以在
處取得最小值
，且當
時，
.
故的最小值為
，因此，的取值范圍是；
（2）因為由（1）有
，
，
所以中點E的坐標為
，同理點F的坐標為
.
于是，直線的斜率為
，
則直線的方程為
，
所以直線恒過定點
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】植物園擬建一個多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻．現有兩種方案：
方案① 多邊形為直角三角形
（
），如圖1所示，其中
；
方案② 多邊形為等腰梯形
（
），如圖2所示，其中
．
請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
分別是雙曲線
的左，右焦點，過點向一條漸近線作垂線，交雙曲線右支于點
，直線
與
軸交于點
（，在
軸同側），連接
，若
的內切圓圓心恰好落在以
為直徑的圓上，則
的大小為________；雙曲線的離心率為________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“業務技能測試”是量化考核員工績效等級的一項重要參考依據．某公司為量化考核員工績效等級設計了A，B兩套測試方案，現各抽取
名員工參加A，B兩套測試方案的預測試，統計成績（滿分分），得到如下頻率分布表．
成績頻率 |
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方案A |
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|
方案B |
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（1）從預測試成績在
的員工中隨機抽取
人，記參加方案A的人數為
，求的最有可能的取值；
（2）由于方案A的預測試成績更接近正態分布，該公司選擇方案A進行業務技能測試．測試后，公司統計了若干部門測試的平均成績
與績效等級優秀率
，如下表所示：
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根據數據繪制散點圖，初步判斷，選用
作為回歸方程．令
，經計算得
，
，
．
（�。┤裟巢块T測試的平均成績為
，則其績效等級優秀率的預報值為多少？
（ⅱ）根據統計分析，大致認為各部門測試平均成績
，其中
近似為樣本平均數
，
近似為樣本方差
，求某個部門績效等級優秀率不低于
的概率為多少？
參考公式與數據：（1）
，
，
．
（2）線性回歸方程
中，
，
．
（3）若隨機變量
，則
，
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為提高市場銷售業績，促進某產品的銷售，隨機調查了該產品的月銷售單價
（單位：元/件）及相應月銷量
（單位：萬件），對近5個月的月銷售單價
和月銷售量
的數據進行了統計，得到如下表數據：
月銷售單價 | 9 |
| 10 |
| 11 |
月銷售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
（Ⅰ）建立關于的回歸直線方程；
（Ⅱ）該公司開展促銷活動，當該產品月銷售單價為7元/件時，其月銷售量達到18萬件，若由回歸直線方程得到的預測數據與此次促銷活動的實際數據之差的絕對值不超過
萬件，則認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問：（Ⅰ）中得到的回歸直線方程是否理想？
（Ⅲ）根據（Ⅰ）的結果，若該產品成本是5元/件，月銷售單價為何值時（銷售單價不超過11元/件），公司月利潤的預計值最大？
參考公式：回歸直線方程
，其中
，
．
參考數據：
，
．
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